普通だとYoutubeとかはモーダルぽく、もしくはアプリに飛んでしまうもよう。
パラメータとして

playsinline="1"

を設定すればよいらしい。
Youtube APIならば

playerVars: {
    controls: 0,
    showinfo: 0,
    playsinline :1
},

こんなかんじ、
ロゴやら関連動画を消したいけどそれはもうできない。

ちなみにインライン再生って思いつくまで、コンテンツ内再生、youtube モーダルさせない、WEB内再生
とかあほくさい言葉でググってしまった。
ググリワード力って大切。。。